▼ ヴォート予想
仕事で疲れたとき．心が荒んでいるとき．そんなときには，可算構造の数を数えてみてはいかがでしょうか．- 標数 $p$ の可算な代数閉体は，超越次数ごとにあるので，同型を除けば，可算無限個．
- $\mathbb{Q}$ 上の可算ベクトル空間は，次元ごとにあるので，同型を除けば，可算無限個．
- 終点を持たない稠密全順序で可算なものは，同型を除いて $\mathbb{Q}$ ただひとつしかない．
- 可算ランダムグラフは，同型を除いて，ラドー・グラフひとつしかない．
- 可算な実閉体の数は，ええと，同型を除いて連続体濃度個．
というわけで，本日は，次のような形の文章を考えてみましょう：
「可算ナントカは，同型を除いて，ちょうど $X$ 個存在する」
上の例では，$X$ の部分は「ひとつ」か「可算」か「連続体濃度」でした．そうすると，ナントカの部分が 《普通》 な構造のクラスだったら，$X$ の部分に該当するものは，有限の数か，可算か，あるいは連続体濃度のいずれかしか出てこないんじゃないかという気分になってきます．ところで，みんなだいすき連続体仮説とは
「可算濃度と連続体濃度の真に中間となる無限は存在しない」
というものでした．実際，それを裏付けるかのように，19世紀末から20世紀初期にかけての連続体仮説を証明または反証せんとする数学者の試みの過程で得られた定理の多くが，「《良い》可算生成な集合の濃度は，高々可算か，さもなくば連続体濃度であって，中間的な濃度は決して現れない」という類のものでした．歴史を遡れば，そのような最初の定理は，1883年のカントールによるもので， $\mathbb{R}$ の閉集合は高々可算であるか連続体濃度を持つというものです．その後，1910年代には，ボレル集合がそのような性質を持つこと，さらには解析集合（標準ボレル空間の射影となる空間）がそのような性質を持つことが示されました．このように，20世紀最初期までには，具体的な記述を持つ《良い》集合に対する連続体仮説が次々に示されていったのです．
さて，ここでは，《普通》というものを，可算言語の完全な一階理論のモデルとして記述できる構造のクラスということにしましょう．ヴォート予想 (Vaught conjecture) とは，1961年にロバート・ヴォート (Robert Lawson Vaught) によって提示された予想で，モデル理論における連続体仮説とでも言うべき，可算構造の数に関する未解決問題です．
■ ヴォート予想ちなみにヴォート予想が最初に提示されたとするヴォートの原論文を眺めてみたところ，「既にたくさんの人がおなじ予想を提示しているっぽいけど，一応ここでも言及しとくね」みたいな感じのノリの文章がつづられていたので，最初にこの問題を予想したのが誰なのかは不明瞭なようです．
可算言語の完全な一階理論の可算モデルの数は，高々可算個であるか，さもなくば連続体濃度である．
ところで，「数理論理学の話はさっぱり分からん！」という人にもご朗報です．実は，この問題は，可算構造のなすポーランド空間へのロジック作用 (logic action) と呼ばれる無限対称群 $S_\infty$ の連続作用を考えることで，次の位相ヴォート予想と呼ばれる，群作用の軌道の数に関する問題に一般化されます．
■ 位相ヴォート予想というわけで，ヴォート予想から数理論理学っぽさが消えて，位相群の作用の問題となりました．数学基礎論は数学を数学によって研究する，とスローガン的にしばしば言われるものですが，公理系の可算モデルの個数の問題をただの位相群の問題にすり替えるこのスタイルは，まさにその良い具体例かもしれません．ちなみに，上の予想は，ポーランド位相群の標準ボレル空間へのボレル可測な作用に対する予想に変えても同値になります．
ポーランド位相群 $G$ がポーランド空間に連続に作用しているとき，任意の $G$-不変ボレル集合には，高々可算個の $G$-軌道しか存在しないか，または完全個の $G$-軌道が存在する*1．
ただ，位相ヴォート予想はモデル理論的ヴォート予想を少し一般化したものになっていて，一階公理化可能な可算構造のクラスだけではなく，可算無限論理 $\mathcal{L}_{\omega_1\omega}$ によって公理化可能な可算構造のクラスに対するヴォート予想を更に一般化したものです．ちなみに，一階公理化可能でないけれども $\mathcal{L}_{\omega_1\omega}$-公理化可能なものとして，たとえば，捩れアーベル群，有限生成群，アルキメデス体，連結グラフなどなどがあります．
さて，1985年，ダニエル・ラスカー (Daniel Lascar) は「ヴォート予想に熱狂している人々がいるわけ」と題する論文において，その動機を次のように説明しています（意訳）
質問： 一体ぜんたい，なんだってあんたは，可算モデルの数なんかに興味があるんだい？ ――とくに，連続体仮説を仮定してしまえば，問題が完全に消滅してしまうってのに．ラスカーの前半の文は，ヴォート予想の重要性は，それ自身ではなく，その解決のために幾多の重要なモデル論的概念が発掘されたことだと強調している様子です．
ラスカー： 答えはシンプルで，ぶっちゃけて言えば，おれは可算モデルの数にも，どんな濃度のモデルの数にも興味なんてないんだよね．説明はするつもりだけど，ちょっとテクニカルで，これは2つの名前に基づいている．スコットとモーレイだ．…（中略）…皆には，ヴォート予想が単なるモデルを数えるだけの問題なんかじゃないと納得してもらいたい．そうじゃなくて，可算言語のモデルの絶対的な不変量の存在に関する我々の直観を正確に数学の言葉で表現する方法なんだ．（後略）
一方，最後の一文は若干テクニカルで，ラスカーは可算濃度に限らない一般濃度の構造を考えており，構造の同型性が絶対的な概念でなく，強制法によるジェネリック拡大などによって揺れ動く不安定な概念であることを注意しています．そんな中でも，無限論理的同値性は，構造の同型性の絶対的閉包のような役割を持ち，ヴォート予想の研究の過程で発見された様々な概念，たとえばスコット階数といったものが，そのような状況にも関わらず絶対的な不変量になるとかいったそんな文脈での発言です．
そんなこんなでラスカーは主にモデル理論の技術的発展を重視しており，一方で位相ヴォート予想については，あれは別の問題だとしてさほど重要視していなかったようです．
ただ，ラスカーのこの発言から時代を経て，1990年代からの目まぐるしい急転回を経た現在から考えると，ヴォート予想の最大の副産物は，むしろ，位相ヴォート予想によってもたらされた面が大きいように思います．この位相群の作用に対する予想が，黎明期の不変量記述集合論 (invariant descriptive set theory) への研究者の流入を促し，記述集合論という分野自体の姿をすっかり変貌させてしまうほどの影響を与えました．その結果として，記述集合論は，関数解析，エルゴード理論，作用素環論などの様々な分野と結びついた研究へと変遷していったのだと個人的には思うのですが，とにかく良い予想は，解決されようがされまいが，人を惹きつけ，新しいアイデアの出現を促進し，分野の発展を導いていくのでした．
▼ 目次
- モデル理論から：スコット階数とモーレーの定理
- 記述集合論から：バージェスとシルバーの二分法
- 作用素環論から：グリム-エフロス二分法
- アーベル群論から：ウルム不変量
- 位相ヴォート予想から連続モデル理論へ
- 記述集合論から(2)：分類を分類する
- 余談：分類を分類する（非可算構造の場合）
- 計算理論から：軌道のボレル複雑性とチャーチ-クリーネの順序数
- 計算理論から(2)：計算可能構造の同型判定問題
- 計算理論から(3)：超算術的イズ計算可能
- 集合論から：非可算モデルの数とスコット階数
- おまけ： YouTube で観る国際数学者会議